Как найти ранг матрицы c. Понятие о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 2 Найти ранг матрицы

А=

и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

.

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

;

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу

В = ,

которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

.

Теоре́ма Кро́некера - Капе́лли - критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре , последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

Следствия

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Однородная система уравнений

Предложение 15 . 2 Однородная система уравнений

всегда является совместной.

Доказательство . Для этой системы набор чисел , , , является решением.

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: .

Предложение 15 . 3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

Доказательство . Пусть и служат решениями системы . Тогда и . Пусть . Тогда

Так как , то -- решение.

Пусть -- произвольное число, . Тогда

Так как , то -- решение.

Следствие 15 . 1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.

Определение 15 . 5 Будем говорить, что решения системы образуют фундаментальную систему решений , если столбцы образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы A m × n {\displaystyle A_{m\times n}} порядка k {\displaystyle k} равны нулю ( M k = 0 {\displaystyle M_{k}=0} ). Тогда ∀ M k + 1 = 0 {\displaystyle \forall M_{k+1}=0} , если они существуют. Шаблон:/рамка

Связанные определения

Свойства

• Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang ⁡ A , M r {\displaystyle r=\operatorname {rang} A,M_{r}} - базисный минор матрицы A {\displaystyle A} , тогда:
• Следствия:
• Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями . Тогда справедливо утверждение: Если A ∼ B {\displaystyle A\sim B} , то их ранги равны.
• Теорема Кронекера - Капелли : Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
  • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
  • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
• Неравенство Сильвестра : Если A и B матрицы размеров m x n и n x k , то

r a n k A B ≥ r a n k A + r a n k B − n {\displaystyle rankAB\geq rankA+rankB-n}

Это частный случай следующего неравенства.

• Неравенство Фробениуса : Если AB, BC, ABC корректно определены, то

r a n k A B C ≥ r a n k A B + r a n k B C − r a n k B {\displaystyle rankABC\geq rankAB+rankBC-rankB}

Линейное преобразование и ранг матрицы

Пусть A {\displaystyle A} - матрица размера m × n {\displaystyle m\times n} над полем C {\displaystyle C} (или R {\displaystyle R} ). Пусть T {\displaystyle T} - линейное преобразование, соответствующее A {\displaystyle A} в стандартном базисе; это значит, что T (x) = A x {\displaystyle T(x)=Ax} . Ранг матрицы A {\displaystyle A} - это размерность области значений преобразования T {\displaystyle T} .

Методы

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

• Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

• Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A {\displaystyle A} найден ненулевой минор k {\displaystyle k} -го порядка M {\displaystyle M} . Рассмотрим все миноры (k + 1) {\displaystyle (k+1)} -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M {\displaystyle M} ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k {\displaystyle k} . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Определение 1

Минор k -ого порядка матрицы - определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а их тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

При таком выборе элементов минором второго порядка будет - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0 0 1 1 = 0

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

C p k × C n k , г д е С p k = p ! k ! (p - k) ! и C n k = n ! k ! (n - k) ! - число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Определение 2

Ранг матрицы - наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Обозначение 1

Rank (A), Rg (A), Rang (A).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Определение 3

Метод перебора миноров - метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров :

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p × n . При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю ).

Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.

Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.

Пример 2

Найти ранг матрицы:

А = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.

Минор 2-го порядка - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 отличен от нуля. Отсюда следует, что ранг матрицы А не меньше двух.

Перебираем миноры 3-го порядка: С 3 3 × С 5 3 = 1 5 ! 3 ! (5 - 3) ! = 10 штук.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - (- 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - (- 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Ответ : Rank (A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Определение 3

Метод окаймляющих миноров - метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.

Окаймляющий минор - минор M o k (k + 1) -го порядка матрицы А, который окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, которая соответствует минору M o k , «содержит» матрицу, которая соответствует минору М.

Проще говоря, матрица, которая соответствует окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору M o k , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Пример 3

Найти ранг матрицы:

А = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Для нахождения ранга берем минор 2-го порядка М = 2 - 1 4 1

Записываем все окаймляющие миноры:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Теорема 1

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.

Алгоритм действий :

Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.

Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.

Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.

Пример 4

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

А = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Как решить?

Поскольку элемент а 11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Мы нашли окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю 2 0 4 1 .

Осуществим перебор окаймляющих миноров - (их (4 - 2) × (5 - 2) =6 штук).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Ответ : Rank(A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.

Элементарные преобразования :

• путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
• путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;

путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.

Определение 5

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса - метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

• в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
• в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований : привести матрицу,чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.

Для чего?

Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

• для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

• для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• для квадратных матриц А порядка n на n:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k < n

Пример 5

Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Как решить?

Поскольку элемент а 11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1 а 11 = 1 2:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):

~ А (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ А (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Элемент а 22 (2) отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на А (2) н а 1 а 22 (2) = - 2 3:

А (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ А (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы 2-ой строки,которые умножены на 3 2 ;
• к элементам 4-ой строки - элементы 2-ой строки, которые умножены на 9 2 ;
• к элементам 5-ой строки - элементы 2-ой строки, которые умножены на 3 2 .

Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований,мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что R a n k (A (4)) = 2 . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.

Замечание

Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Любая матрица A порядка m×n можно рассматривать как совокупность m векторов строк или n векторов столбцов .

Рангом матрицы A порядка m×n называется максимальное количество линейно независимых векторов столбцов или векторов строк.

Если ранг матрицы A равен r , то пишется:

Нахождение ранга матрицы

Пусть A произвольная матрица порядка m ×n . Для нахождения ранга матрицы A применим к ней метод исключения Гаусса.

Отметим, что если на каком-то этапе исключения ведущий элемент окажется равным нулю, то меняем местами данную строку со строкой, в котором ведущий элемент отличен от нуля. Если окажется, что нет такой строки, то переходим к следующему столбцу и т.д.

После прямого хода исключения Гаусса получим матрицу, элементы которой под главной диагональю равны нулю. Кроме этого могут оказаться нулевые векторы строки.

Количество ненулевых векторов строк и будет рангом матрицы A .

Рассмотрим все это на простых примерах.

Пример 1.

Умножив первую строку на 4 и прибавив ко второй строке и умножив первую строку на 2 и прибавив к третьей строке имеем:

Вторую строку умножим на -1 и прибавим к третьей строке:

Получили две ненулевые строки и, следовательно ранг матрицы равен 2.

Пример 2.

Найдем ранг следующей матрицы:

Умножим первую строку на -2 и прибавим ко второй строке. Аналогично обнулим элементы третьей и четвертой строки первого столбца:

Обнулим элементы третьей и четвертой строк второго столбца прибавляя соответствующие строки ко второй строке умноженной на число -1.

Для работы с понятием ранга матрицы нам понадобятся сведения из темы "Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений" . В первую очередь это касается термина "минор матрицы" , так как ранг матрицы станем определять именно через миноры.

Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.

Эквивалентные матрицы - матрицы, ранги которых равны между собой.

Поясним подробнее. Допустим, среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. А все миноры, порядок которых выше двух, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 2. Или, к примеру, среди миноров десятого порядка есть хоть один, не равный нулю. А все миноры, порядок которых выше 10, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 10.

Обозначается ранг матрицы $A$ так: $\rang A$ или $r(A)$. Ранг нулевой матрицы $O$ полагают равным нулю, $\rang O=0$. Напомню, что для образования минора матрицы требуется вычёркивать строки и столбцы, - однако вычеркнуть строк и столбцов более, чем содержит сама матрица, невозможно. Например, если матрица $F$ имеет размер $5\times 4$ (т.е. содержит 5 строк и 4 столбца), то максимальный порядок её миноров равен четырём. Миноры пятого порядка образовать уже не удастся, так как для них потребуется 5 столбцов (а у нас всего 4). Это означает, что ранг матрицы $F$ не может быть больше четырёх, т.е. $\rang F≤4$.

В более общей форме вышеизложенное означает, что если матрица содержит $m$ строк и $n$ столбцов, то её ранг не может превышать наименьшего из чисел $m$ и $n$, т.е. $\rang A≤\min(m,n)$.

В принципе, из самого определения ранга следует метод его нахождения. Процесс нахождения ранга матрицы по определению можно схематически представить так:

Поясню эту схему более подробно. Начнём рассуждать с самого начала, т.е. с миноров первого порядка некоторой матрицы $A$.

1. Если все миноры первого порядка (т.е. элементы матрицы $A$) равны нулю, то $\rang A=0$. Если среди миноров первого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка.
2. Если все миноры второго порядка равны нулю, то $\rang A=1$. Если среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 2$. Переходим к проверке миноров третьего порядка.
3. Если все миноры третьего порядка равны нулю, то $\rang A=2$. Если среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.
4. Если все миноры четвёртого порядка равны нулю, то $\rang A=3$. Если среди миноров четвёртого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 4$. Переходим к проверке миноров пятого порядка и так далее.

Что ждёт нас в конце этой процедуры? Возможно, что среди миноров k-го порядка найдётся хоть один, отличный от нуля, а все миноры (k+1)-го порядка будут равны нулю. Это значит, что k - максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю, т.е. ранг будет равен k. Может быть иная ситуация: среди миноров k-го порядка будет хоть один не равный нулю, а миноры (k+1)-го порядка образовать уже не удастся. В этом случае ранг матрицы также равен k. Короче говоря, порядок последнего составленного ненулевого минора и будет равен рангу матрицы .

Перейдём к примерам, в которых процесс нахождения ранга матрицы по определению будет проиллюстрирован наглядно. Ещё раз подчеркну, что в примерах данной темы мы станем находить ранг матриц, используя лишь определение ранга. Иные методы (вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров , вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований) рассмотрены в следующих темах.

Кстати, вовсе не обязательно начинать процедуру нахождения ранга с миноров самого малого порядка, как это сделано в примерах №1 и №2. Можно сразу перейти к минорам более высоких порядков (см. пример №3).

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Данная матрица имеет размер $3\times 5$, т.е. содержит три строки и пять столбцов. Из чисел 3 и 5 минимальным является 3, посему ранг матрицы $A$ не больше 3, т.е. $\rang A≤ 3$. И это неравенство очевидно, так как миноры четвёртого порядка образовать мы уже не сможем, - для них нужно 4 строки, а у нас всего 3. Перейдём непосредственно к процессу нахождения ранга заданной матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть ненулевые. Например, 5, -3, 2, 7. Вообще, нас не интересует общее количество ненулевых элементов. Есть хотя бы один не равный нулю элемент - и этого достаточно. Так как среди миноров первого порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, то делаем вывод, что $\rang A≥ 1$ и переходим к проверке миноров второго порядка.

Начнём исследовать миноры второго порядка. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №4 расположены элементы такого минора: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|$. У этого определителя все элементы второго столбца равны нулю, поэтому и сам определитель равен нулю, т.е. $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=0$ (см. свойство №3 в теме свойства определителей). Или же можно банально вычислить сей определитель, используя формулу №1 из раздела по вычислению определителей второго и третьего порядков :

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Первый проверенный нами минор второго порядка оказался равен нулю. О чём это говорит? О том, что нужно дальше проверять миноры второго порядка. Либо они все окажутся нулевыми (и тогда ранг будет равен 1), либо среди них найдётся хотя бы один минор, отличный от нуля. Попробуем осуществить более удачный выбор, записав минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №5: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|$. Найдём значение этого минора второго порядка:

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Данный минор не равен нулю. Вывод: среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. Следовательно $\rang A≥ 2$. Нужно переходить к исследованию миноров третьего порядка.

Если для формирования миноров третьего порядка мы станем выбирать столбец №2 или столбец №4, то такие миноры будут равными нулю (ибо они будут содержать нулевой столбец). Остаётся проверить лишь один минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении столбцов №1, №3, №5 и строк №1, №2, №3. Запишем этот минор и найдём его значение:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right|=-20-18-14+16+21+15=0. $$

Итак, все миноры третьего порядка равны нулю. Последний составленный нами ненулевой минор был второго порядка. Вывод: максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, отличный от нуля, равен 2. Следовательно, $\rang A=2$.

Ответ : $\rang A=2$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$.

Имеем квадратную матрицу четвёртого порядка. Сразу отметим, что ранг данной матрицы не превышает 4, т.е. $\rang A≤ 4$. Приступим к нахождению ранга матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка. Например, на пересечении строк №2, №3 и столбцов №1 и №2 получим такой минор второго порядка: $\left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|$. Вычислим его:

$$ \left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|=0-10=-10. $$

Среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 2$.

Перейдём к минорам третьего порядка. Найдём, к примеру, минор, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №3, №4 и столбцов №1, №2, №4:

$$ \left | \begin{array} {cccc} -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=105-105=0. $$

Так как данный минор третьего порядка оказался равным нулю, то нужно исследовать иной минор третьего порядка. Либо все они окажутся равными нулю (тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хоть один, не равный нулю (тогда станем исследовать миноры четвёртого порядка). Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=-28. $$

Среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, поэтому $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.

Любой минор четвёртого порядка располагается на пересечении четырёх строк и четырёх столбцов матрицы $A$. Иными словами, минор четвёртого порядка - это определитель матрицы $A$, так как данная матрица как раз и содержит 4 строки и 4 столбца. Определитель этой матрицы был вычислен в примере №2 темы "Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу)" , поэтому просто возьмём готовый результат:

$$ \left| \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=86. $$

Итак, минор четвертого порядка не равен нулю. Миноров пятого порядка образовать мы уже не можем. Вывод: наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от нуля, равен 4. Итог: $\rang A=4$.

Ответ : $\rang A=4$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end{array} \right)$.

Сразу отметим, что данная матрица содержит 3 строки и 4 столбца, поэтому $\rang A≤ 3$. В предыдущих примерах мы начинали процесс нахождения ранга с рассмотрения миноров наименьшего (первого) порядка. Здесь же попробуем сразу проверить миноры максимально возможного порядка. Для матрицы $A$ такими являются миноры третьего порядка. Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end{array} \right|=-8-60-20=-88. $$

Итак, наивысший порядок миноров, среди которых есть хоть один, не равный нулю, равен 3. Поэтому ранг матрицы равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Ответ : $\rang A=3$.

Вообще, нахождение ранга матрицы по определению - в общем случае задача довольно-таки трудоёмкая. Например у матрицы сравнительно небольшого размера $5\times 4$ имеется 60 миноров второго порядка. И если даже 59 из них будут равны нулю, то 60й минор может оказаться ненулевым. Тогда придётся исследовать миноры третьего порядка, которых у данной матрицы 40 штук. Обычно стараются использовать менее громоздкие способы, такие как метод окаймляющих миноров или метод эквивалентных преобразований .