Cum se rezolvă ecuația 5 6. Rezolvarea ecuațiilor liniare cu exemple. Înmulțirea și împărțirea ecuațiilor

Rezolvăm ecuația rațională fracțională 5/x = 100. Această ecuație poate fi rezolvată în două moduri. Să ne uităm la fiecare dintre ele.

Plan pentru rezolvarea ecuației 5/x = 100

• găsiți intervalul de valori acceptabile pentru o anumită ecuație;
• prima modalitate de a rezolva ecuația este considerând-o ca o proporție;
• A doua modalitate de a rezolva ecuația este găsirea divizorului necunoscut.

Găsirea termenului necunoscut al proporției

Mai întâi, să găsim ecuația ODZ. Există un semn de fracție în partea stângă a ecuației și este echivalent cu semnul diviziunii. Se știe că nu poți împărți la zero. Aceasta înseamnă că din ODZ trebuie să excludem valorile care transformă numitorul la zero.

ODZ: x aparține lui R\(0).

Acum să ne uităm la ecuația noastră ca proporție.

Principala proprietate a proporției.

Produsul termenilor extremi ai unei proporții este egal cu produsul termenilor ei medii.

Pentru proporție a: b = c: d sau a/b = c/d proprietatea principală este scrisă astfel: a · d = b · c.

Să o aplicăm și să obținem o ecuație liniară:

100 * x = 5 * 1;

Să împărțim ambele părți ale ecuației la 100, scăpând astfel de coeficientul din fața variabilei x:

Găsirea unui divizor necunoscut

Să privim ecuația ca un coeficient. Acolo unde dividendul este 5, divizorul este x, iar rezultatul diviziunii este coeficientul este 100.

Să ne amintim de regula pentru găsirea unui divizor necunoscut - trebuie să împărțiți dividendul la cât.

Rădăcina găsită aparține ecuației ODZ.

Să verificăm soluția găsită a ecuației. Pentru a face acest lucru, înlocuiți rădăcinile găsite în ecuația originală și efectuați calculele:

Soluția a fost găsită corect.

O ecuație este o egalitate în care există un termen necunoscut - x. Sensul lui trebuie găsit.

Mărimea necunoscută se numește rădăcina ecuației. Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea rădăcinii acesteia, iar pentru a face acest lucru trebuie să cunoașteți proprietățile ecuațiilor. Ecuațiile pentru clasa a 5-a nu sunt dificile, dar dacă înveți să le rezolvi corect, nu vei mai avea probleme cu ele pe viitor.

Proprietatea principală a ecuațiilor

Când ambele părți ale unei ecuații se modifică cu aceeași valoare, aceasta continuă să fie aceeași ecuație cu aceeași rădăcină. Să rezolvăm câteva exemple pentru a înțelege mai bine această regulă.

Cum se rezolvă ecuații: adunare sau scădere

Să presupunem că avem o ecuație de forma:

• a + x = b - aici a și b sunt numere, iar x este termenul necunoscut al ecuației.

Dacă adunăm (sau scădem din ele) valoarea c de ambele părți ale ecuației, aceasta nu se va modifica:

• a + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

Exemplul 1

Să folosim această proprietate pentru a rezolva ecuația:

• 37+x=51

Scădeți numărul 37 din ambele părți:

• 37+x-37=51-37

primim:

• x=51-37.

Rădăcina ecuației este x=14.

Dacă ne uităm îndeaproape la ultima ecuație, putem vedea că este aceeași cu prima. Pur și simplu am mutat termenul 37 dintr-o parte a ecuației în cealaltă, înlocuind plus cu minus.

Se pare că orice număr poate fi transferat dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus.

Exemplul 2

• 37+x=37+22

Să efectuăm aceeași acțiune, mutați numărul 37 din partea stângă a ecuației la dreapta:

• x=37-37+22

Deoarece 37-37=0, pur și simplu reducem acest lucru și obținem:

• x =22.

Termenii identici ai unei ecuații cu același semn, localizați în părți diferite ale ecuației, pot fi reduceți (barați).

Înmulțirea și împărțirea ecuațiilor

Ambele părți ale egalității pot fi, de asemenea, înmulțite sau împărțite cu același număr:

Dacă egalitatea a = b este împărțită sau înmulțită cu c, aceasta nu se modifică:

• a/c = b/c,
• ac = bс.

Exemplul 3

• 5x = 20

Să împărțim ambele părți ale ecuației la 5:

• 5x/5 = 20/5.

Deoarece 5/5 = 1, reducem acest multiplicator și divizor din partea stângă a ecuației și obținem:

• x = 20/5, x=4

Exemplul 4

• 5x = 5a

Dacă ambele părți ale ecuației sunt împărțite la 5, obținem:

• 5x/5 = 5a/5.

5 din numărătorul și numitorul părților din stânga și din dreapta sunt anulate, rezultând x = a. Aceasta înseamnă că factorii identici din partea stângă și dreaptă a ecuațiilor se anulează.

Să rezolvăm un alt exemplu:

• 13 + 2x = 21

Mutăm termenul 13 din partea stângă a ecuației la dreapta cu semnul opus:

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

Împărțind ambele părți ale ecuației la 2, obținem:

• x = 4.

O ecuație cu o necunoscută, care, după ce deschide parantezele și aduce termeni similari, ia forma

ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o egalitate adevărată decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 = 13 în loc de necunoscutul x înlocuim numărul 2, obținem egalitatea corectă 3 2 +7 = 13. Aceasta înseamnă că valoarea x = 2 este soluția sau rădăcina a ecuației.

Iar valoarea x = 3 nu transformă ecuația 3x + 7 = 13 într-o egalitate adevărată, deoarece 3 2 +7 ≠ 13. Aceasta înseamnă că valoarea x = 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la rezolvarea ecuațiilor de forma

ax + b = 0.

Să mutăm termenul liber din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul din fața lui b la opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci x = ‒ b/a .

Exemplul 1. Rezolvați ecuația 3x + 2 =11.

Să mutăm 2 din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul din fața lui 2 în opus, obținem
3x = 11 – 2.

Să facem scăderea, atunci
3x = 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9:3.

Aceasta înseamnă că valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 3.

Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x = 0. Această ecuație are infinit de soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar și b este egal cu 0. Soluția acestei ecuații este orice număr.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Să extindem parantezele:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Iată câțiva termeni similari:
0x = 0.

Răspuns: x - orice număr.

Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.

Să grupăm termeni care conțin necunoscute în partea stângă și termeni liberi în partea dreaptă:
x – x = 5 – 8.

Iată câțiva termeni similari:
0х = ‒ 3.

Răspuns: fără soluții.

Pe figura 1 prezintă o diagramă pentru rezolvarea unei ecuații liniare

Să întocmim o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor cu o variabilă. Să luăm în considerare soluția exemplului 4.

Exemplul 4. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere obținem
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa termenii care conțin termeni necunoscuți și cei liberi, deschideți parantezele:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Să grupăm într-o parte termenii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - termeni liberi:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Să prezentăm termeni similari:
- 22x = - 154.

6) Împărțiți cu – 22, obținem
x = 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

In general asa ecuațiile pot fi rezolvate folosind următoarea schemă:

a) aduce ecuația la forma sa întreagă;

b) deschideți parantezele;

c) grupează termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației, iar termenii liberi în cealaltă;

d) aduce membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma aх = b, care s-a obținut după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvați multe ecuații mai simple, trebuie să începeți nu de la prima, ci de la a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația 2x = 1/4.

Aflați necunoscutul x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Să ne uităm la rezolvarea unor ecuații liniare găsite în examenul de stat principal.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Răspuns: - 0,125

Exemplul 7. Rezolvați ecuația – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8. Rezolvați ecuația

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Exemplul 9. Aflați f(6) dacă f (x + 2) = 3 7

Soluţie

Deoarece trebuie să găsim f(6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.

Rezolvăm ecuația liniară x + 2 = 6,
obținem x = 6 – 2, x = 4.

Dacă x = 4 atunci
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Raspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări sau doriți să înțelegeți mai bine rezolvarea ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele în PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!

TutorOnline vă recomandă, de asemenea, să vizionați o nouă lecție video de la profesorul nostru Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.